Unsere ganze Natur ist in Fraktalen aufgebaut. Fraktale sind jene Objekte und Formen, die aus kleinen selbstähnlichen Teilen bestehen. Sie sind aber nicht nur in der Natur, sondern auch in der Literatur, Bildern oder Skulpturen in der Kunst, Melodien in der Musik, Architektur und sogar in Börsenkursen zu finden. Die Fraktale Geometrie ist eine sehr junge Wissenschaft und konnte unter anderem in der Krebsforschung für neue Erkenntnisse sorgen. Wir verraten, was es mit der Schönheit der Selbstähnlichkeit auf sich hat.
Das Große im Kleinen: Was sind Fraktale?
Das einfachste Beispiel für ein Fraktal in der Natur ist ein Baum oder ein Farn. Bei genauerem Hinsehen kann man erkennen, dass die Äste eines Baumes wie kleine Minibäume aussehen. Sie haben unten ebenfalls eine Art Stamm, von dem sich weitere Äste als selbstähnliche Strukturen abzweigen. Dasselbe gilt für einen Farn, dessen Blätter wie kleine Farne aussehen. Ein sehr schönes Beispiel ist auch der Romanesco Broccoli, der aus lauter verkleinerten Kopien von sich selbst besteht, die die gleiche oder zumindest ähnliche Form aufweisen.
Die Menschheit hat sich schon sehr lange mit fraktaler Geometrie und Mathematik beschäftigt. In den 70er-Jahren entdeckte der Mathematiker Benoit B. Mandelbrot einen Fehler in der Datenübertragung einer Telefonleitung, der immer wieder in der gleichen Form auftauchte. Das völlig neue mathematische Herangehen von Mandelbrot an solche Probleme gipfelten schließlich in der Entdeckung der Fraktale (lateinisch fractus "gebrochen"), die er erstmals 1975 beschrieb. Nach ihm ist auch das Mandelbrot Männchen benannt. Dabei geht es um eine mathematisch berechnete Figur, die einem Schneemann gleicht und aus lauter kleinen Schneemännchen besteht, die wiederum aus kleinen Schneemännchen bestehen. Die fraktale Geometrie beschäftigt sich in der Mathematik mit geometrischen Objekten, (Fraktalen) die bei Vergrößerung immer komplizierter und „gebrochener" werden". Im Unterschied dazu ähneln sogenannte „glatte" Objekte" wie etwa ein Kreis beim Heranzoomen einer Gerade. Sie sind glatte Körper der Geometrie.
Fraktale in der Natur und im menschlichen Körper
Die Mathematik mit der Geometrie ist eine Wissenschaft, die unsere Welt beschreibt. Die Mathematik selbst ist aber ein reines Produkt unseres Geistes. Viele stöhnen in der Schule über die Mathematik als Fach, tatsächlich sind mathematische Berechnungen die Basis für fast alles, was wir im Alltag benutzen. Mit ihrer Hilfe, können wir aber immer mehr von der Natur verstehen.
Harmonien in der Musik folgen mathematischen Gesetzen und funktionieren ebenfalls nach dem Prinzip der Fraktale. Auch die Kunst arbeitet immer schon mit Mitteln der fraktalen Geometrie. Beispiele dafür sind der goldene Schnitt oder die Fibonacci-Schnecke, die auch die "göttliche Proportion" genannt wird. Moderne Computertechnik macht es möglich, Formen von Fraktalen überall zu entdecken. Sogar in Büchern. Mathematiker haben durch Analysen entdeckt, dass bestimmte Werke des Schriftstellers James Joyce fraktalen Gegebenheiten in der Satz- und Textstruktur folgen.
Fraktale: Die Natur in der modernen Technik
Fast jedes Bild, das wir uns ansehen, folgt diesen Regeln der Geometrie, die es uns angenehm machen, das Bild zu betrachten. Im menschlichen Körper sind Fraktale in der Lunge als Beispiel für Geometrie und fraktale Natur zu finden. Die Lunge wie ein Fraktal nach dem Prinzip der Selbstähnlichkeit aus sich immer weiter verkleinerten Kopien ihrer bronchialen Verzweigungen aufgebaut ist. Die mathematischen Erkenntnisse der fraktalen Geometrie können bei der Früherkennung von Lungenschäden bei Rauchern zum Beispiel gute Dienste leisten.
Fraktale findet man in vielen Bereichen unseres Lebens:
- Natur: Küstenlinien, Flussverläufe, Farne, Schneeflocken,
- Medizin: Blutgefäße, Krebsdiagnostik,
- Kunst: Bilder, Skulpturen.
Zoomen ist seit der Erfindung von Wischtechnik bei Smartphones aus unserem Alltag nicht wegzudenken. die Erkenntnisse von Mandelbrot für die Mathematik beschleunigten Computerprogramme ungemein. Fraktale Formen und Prinzipien werden in Photoshop und anderen Programmen verwendet. Sie hilft dabei, Bilder am Computer mathematisch zu verkleinern und dann beim Öffnen wieder genau herzustellen. Sie findet sich auch in der Chaostheorie wieder.
Es ist kompliziert: Fraktale Geometrie und die Ordnung im Chaos
Die Chaostheorie hat nichts mit Chaos zu tun, sie untersucht eigentlich nur den Übergang von geordneten Systemen zu ungeordneten. Das ist kompliziert und darum geht es auch. Ganz vereinfacht heißt das, dass es auch in scheinbar enorm komplizierten fraktalen Mustern genaue Gesetzmäßigkeiten gibt. Mithilfe der Mathematik versucht man, immer wiederkehrende Muster im Chaos zu erkennen und zu beschreiben. So beschäftigten sich auch die Wirtschaftswissenschaften, die Geschichte oder die Biologie (Rückkopplungsprozesse oder Stoffwechselprozesse) mit chaotischen Systemen. Besondere Wirkung hatte die Chaostheorie auf Theorien zur Politik, oder besonders in der Interpretation der Geschehnisse auf den internationalen Finanzmärkten oder der Börse.
Mathematik und Spiritualität: Die Schönheit der Selbstähnlichkeit
Im Alltag können wir fraktale Formen auch für die Meditation in Bildern oder in Klängen nutzen. Die Schönheit der Mathematik, die sich in der Natur äußert können, wir aber auch in Schneeflocken, Schneckenhäusern oder Blättern finden und so unseren Geist beruhigen und Fokus erleichtern. Spirituell gesehen kann uns die Theorie der Selbstähnlichkeit zum Beispiel Demut lehren, da wir erkennen, dass alles ähnlich ist und jedes noch so kleine Objekt oder jeder simple Gedanke, das Prinzip des Großen in sich trägt und umgekehrt.